Teorem Kalkulus vektor

Terdapat beberapa teorem penting yang berkaitan dengan pengoperasi-pengoperasi ini yang mengitlak teorem asas kalkulus kepada dimensi yang lebih tinggi:

TeoremPernyataanPenerangan
Teorem kecerunan φ ( q ) − φ ( p ) = ∫ L | p → q ∇ φ ⋅ d r {\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L\,|\,\mathbf {p} \,\to \,\mathbf {q} }\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} } Kamiran garis melalui satu medan (vektor) kecerunan adalah bersamaan dengan perbezaan dalam medan skalarnya pada titik hujung lengkung L.
Teorem Green ∬ Σ ∈ R 2 ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A = ∮ ∂ Σ ⁡ ( L d x + M d y ) {\displaystyle \iint _{\Sigma \,\in \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA=\oint _{\partial \Sigma }\left(L\,dx+M\,dy\right)} Kamiran ikal skalar medan vektor pada beberapa kawasan pada satah adalah bersamaan dengan kamiran garis medan vektor pada lengkung tertutup yang melingkari kawasan tersebut.
Teorem Stokes ∬ Σ ∈ R 3 ∇ × F ⋅ d Σ = ∮ ∂ Σ ⁡ F ⋅ d r {\displaystyle \iint _{\Sigma \,\in \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} } Kamiran ikal medan vektor pada permukaan dalam R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} adalah bersamaan dengan kamiran garis medan vektor pada lengkung tertutup yang melingkari permukaan tersebut.
Teorem kecapahan ∭ V ( ∇ ⋅ F ) d V = ∬ ∂ V ⊂ ⊃ F ⋅ d S {\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S} } Kamiran kecapahan medan vektor pada beberapa pepejal adalah bersamaan dengan kamiran fluks melalui permukaan tertutup yang melingkari pepejal.